Multistage Graph
Multistage Graph वह Directed Graph है, जिसमें vertices (nodes) अलग-अलग stages में divided होते हैं। हर node केवल अगली stage के nodes से connected होता है, edges हमेशा एक directional और ordered flow में होते हैं।
Key Points :
- Directed Graph – Edges हमेशा एक direction में होते हैं।
- Stage-wise Nodes – Vertices अलग-अलग stages में divided होते हैं।
- Ordered Flow – Stage 1 से Stage N तक path हमेशा आगे बढ़ता है।
- No Loops – किसी node से previous stage में वापस नहीं जा सकते।
- Used in Shortest Path Problems – Cheapest या optimal path निकालने में helpful है।
- Dynamic Programming Friendly – Stage order होने के कारण DP algorithms आसानी से use किए जा सकते हैं।
- Applications – IRCTC route planning, Flipkart delivery, Flight booking, Project scheduling आदि।
Key Features (प्रमुख विशेषताऐं)
- Directed Graph : Edges केवल एक direction में होते हैं। हर node केवल अगले stage के node से connect होता है।
- Stage-wise Structure : Nodes अलग-अलग stages/levels में arranged होते हैं।
- Forward Edges Only : Graph में loops या backward edges नहीं होते।
- Source and Destination : Graph एक source node (S) से start और एक destination node (D) पर end होता है।
- Optimal Path Problem : Dynamic Programming approach से efficiently solve किया जा सकता है।
Key Terms (मुख्य शब्द)
| Term | Meaning |
|---|---|
| Stage | Nodes का level, जैसे Stage 1, Stage 2,… Stage k |
| Node | Graph का एक vertex |
| Edge | Nodes को connect करने वाला path, weight के साथ |
| Weight | Edge का cost या distance |
| Path | Source से Destination तक का route |
| Cost/Distance | Path में सभी edges का total sum |
Algorithm Design (Dynamic Programming Approach)
Multistage Graph problem को Dynamic Programming से efficiently solve किया जाता है।
Step-by-Step Algorithm (Bottom-Up DP)
1. Stage Initialization :
- Start from last stage (Destination D) और backward calculate करें।
- Cost[D] = 0
2. Compute Cost for Other Nodes :
- हर node i के लिए, next stage के सभी nodes j देखें।
- Formula:
- cost[i] = min(c(i,j) + cost[j]
- जहाँ c(i,j) = edge weight from i to j
3. Repeat Stage by Stage :
Step 2 को हर previous stage के लिए repeat करें।
4. Optimal Path :
Source node S से start करके, next node हमेशा minimum cost वाला next stage node choose करें।
Pseudo Code
Input: Multistage Graph G(V,E), edge weights c(i,j)
Output: Minimum cost path from Source S to Destination D
1. Let n = number of nodes
2. cost[D] = 0 // Last node
3. for i = n-1 to 1 do
4. cost[i] = ∞
5. for each node j such that edge(i,j) exists do
6. if cost[i] > c(i,j) + cost[j] then
7. cost[i] = c(i,j) + cost[j]
8. next[i] = j
9. end for
10. Print “Minimum Cost =”, cost[S]
11. path = S
12. while path last node != D do
13. path.append(next[path.last])
14. Print path
Example (उदाहरण)
Step 1 : Start from the Destination Node.
- Destination node का cost हमेशा 0 होता है।
- Cost[D] = 0
Step 2: Calculate the cost of the nodes in Stage 3
- Node C
- Cost[C] = Cost(C→D) + Cost[D]
- = 1 + 0 = 1
- Node D (Stage 3)
- Cost[D₃] = Cost(D→D) + Cost[D]
- = 2 + 0 = 2
Step 3: Calculate the cost of the nodes in Stage 2.
- Node A
- Cost[A] = Cost(A→C) + Cost[C]
- = 7 + 1 = 8
- Node B
- Cost[B] = min( B→C + Cost[C] , B→D + Cost[D₃] )
- = min( 4 + 1 , 3 + 2 )
- = min(5 , 5) = 5
Step 4: Calculate the cost of the Source Node (S).
- Cost[S] = min( S→A + Cost[A] , S→B + Cost[B] )
- = min( 2 + 8 , 4 + 5 )
- = min(10 , 9) = 9
Step 5: Minimum Cost Path निकालें
Possible Paths :
- S → A → C → D = 10
- S → B → C → D = 9
- S → B → D → D = 9
Minimum Cost = 9
One Optimal Path :
- S → B → C → D
- S → B → D → D
Applications of Multistage Graph (अनुप्रयोग)
- Network Routing : Computer networks में source से destination तक minimum cost / shortest path निकालने के लिए Multistage Graph का उपयोग किया जाता है।
- Project Scheduling : बड़े projects को कई stages में divide करके minimum time या minimum cost में complete करने के लिए Multistage Graph helpful होता है।
- Transportation Problem : Cities या locations के बीच least cost route खोजने के लिए Multistage Graph का प्रयोग किया जाता है।
- Multi-stage Decision Making : जहाँ decision step-by-step लेना होता है (जैसे business planning), वहाँ Multistage Graph best solution देता है।
- Production & Manufacturing Planning : Manufacturing process को अलग-अलग stages में plan करके overall cost minimize करने में Multistage Graph का उपयोग होता है।
- Dynamic Programming Problems : Multistage Graph, Dynamic Programming का practical application है और DP concepts को समझने में मदद करता है।
Advantages of Multistage Graph (लाभ)
- Optimal Solution : Multistage Graph हमेशा minimum cost / shortest path निकालने में मदद करता है।
- Dynamic Programming Friendly : Dynamic Programming approach से problem को efficiently solve किया जा सकता है।
- Clear Structure : Graph stages में divided होता है, जिससे problem को समझना आसान हो जाता है।
- No Cycles (DAG) : Directed Acyclic Graph होने के कारण infinite loop की problem नहीं होती।
- Useful for Real-life Problems : Network routing, project planning और transportation जैसी problems में बहुत useful है।
Disadvantages of Multistage Graph (सीमाएँ)
- Limited Graph Structure : Only stage-wise (layered) graphs पर ही applicable होता है।
- Backward Calculation Required : Solution destination से backward calculate करना पड़ता है, जो beginners के लिए confusing हो सकता है।
- High Memory Usage : Large graph के लिए cost array या DP table रखने में ज्यादा memory लगती है।
- Not Suitable for All Problems : Cyclic graphs या general graphs के लिए Multistage Graph approach use नहीं की जा सकती।
- Complex Implementation : Cost calculation और optimal path tracking beginners के लिए difficult होता है।
